Bất đẳng thức am-gm là gì và những điều cần biết – ReviewEdu

Được quản trị viên cập nhật vào ngày 24 tháng 2 năm 2022

Các bất đẳng thức đáng nhớ là một phần quan trọng trong chương trình học toán của học sinh. Có rất nhiều bất bình đẳng mà học sinh phải ghi nhớ khi đi học. Một trong số đó là bất đẳng thức am-gm. Vậy bất đẳng thức am-gm là gì và công thức tính như thế nào, hãy cùng u.net điểm qua bài viết dưới đây nhé!

Bạn đang xem: Bat dang thuc am gm la gi

Bất đẳng thức am-gm là gì?

  • Khi một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của tất cả các biến có trong bất đẳng thức, nó được gọi là bất đẳng thức tuyệt đối hoặc bất đẳng thức không điều kiện.
  • Giá trị của một biến khi bất đẳng thức đúng với một số và nó bị đảo ngược hoặc không còn đúng với các giá trị khác được gọi là bất đẳng thức có điều kiện. Một bất đẳng thức đúng vẫn đúng nếu nó cộng hoặc trừ cùng một giá trị trên cả hai vế, hoặc nhân hoặc chia cho cùng một số dương ở cả hai vế.
  • Nếu đảo ngược cả hai, bất đẳng thức sẽ được nhân hoặc chia cho một số âm bằng cách đảo vế của nó. Đây là những điều cơ bản, nhưng quan trọng đối với bất đẳng thức đáng nhớ.

Chứng minh bất đẳng thức am-gm

Bất bình đẳng am-gm được biểu thị như sau:

trong đó (*) là bất kỳ số thực không âm nào.

Còn được gọi là bất đẳng thức Cauchy, có rất nhiều cách chứng minh ngắn gọn và độc đáo cho bất đẳng thức am-gm tổng quát. Đây là bằng chứng của Kong Ming Chong (Malaysia):

Nói cách khác, bất đẳng thức trên tương đương với.

nếu thì (*) trở nên bằng vì:.

Nếu chúng không bằng nhau, chắc chắn phải có sự bất bình đẳng thực sự:

(1).

Chúng tôi chứng minh (1) bằng quy nạp.

Mức giữ đáng kể (1) cho n = 2, tức là.

Giả sử (1) giữ nguyên cho n – 1 số không bằng nhau, nghĩa là t. Ta phải chứng minh rằng (1) đúng với n.

Xem thêm: Nhà Tiên Tri Trần Dần – Thông Tin Về Nhà Tiên Tri Vũ Trụ Trần Dần

Thật vậy, trong tất cả các bất đẳng thức, phải có một bất đẳng thức nhỏ hơn t và một bất đẳng thức lớn hơn t, chẳng hạn như a1 và a2 :. Vì vậy, chúng tôi có hoặc. Chúng tôi xem xét các số không âm sau:. Dễ dàng nhận thấy n-1 số trên không bằng nhau nên theo giả thiết quy nạp:.

Có (dpcm).

bài tập ứng dụng bất đẳng thức am-gm

Bất đẳng thức am-gm

Bất đẳng thức am-gm

Hậu quả của bất bình đẳng

Thuộc tính 1: Thuộc tính cầu nối

Với tất cả các số thực a, b, c, ta có: (left {begin {matrix} a & amp; & gt; & amp; b b & amp; & gt; & amp; c end {matrix} right.rightarrow a & gt; c)

p>

Thuộc tính 2: Thuộc tính cộng và trừ cả hai vế của một số

Thuộc tính này được biểu thị như sau: phép cộng và phép trừ các số thực giống nhau duy trì mối quan hệ thứ tự trên tập các số thực

Quy tắc cộng ở cả hai bên: (a & gt; b left rightarrow a + c & gt; b + c)

Trừ cùng một số cho cả hai bên: (a> b mũi tên phải a-c> b-c)

Suy luận 1: Chuyển đổi: (a + c> bleftrightarrow a> b-c)

Tính chất 3: Quy tắc cộng hai bất phương trình cùng chiều

(left {begin {matrix} a & amp; & gt; & amp; b c & amp; & gt; & amp; d end {matrix} right.rightarrow a + c & gt; b + d)

Xem thêm: Suy nghĩ về đức tính giản dị 2023

Thuộc tính 4: Các thuộc tính liên quan đến phép nhân và phép chia cả hai vế của một bất đẳng thức

Phép nhân (hoặc phép chia) với các số thực dương bảo toàn mối quan hệ thứ tự trên tập hợp các số thực và phép nhân (hoặc phép chia) với các số thực âm đảo ngược mối quan hệ thứ tự trên tập hợp các số thực.

Quy tắc nhân cả hai vế với cùng một số: (a & gt; b left rightarrow sang trái {begin {matrix} ac & amp; & gt; & amp; bc (c & gt; 0) ac & amp;

Quy tắc chia cả hai vế cho cùng một số: (a & gt; b leftrightarrow left {begin {matrix} frac {a} {c} & amp; & gt; & amp; frac {b} {c} (c & gt; 0) phân số {a} {c} & amp;

Hệ quả 2: Quy tắc trao đổi hai mặt: (a> bleftrightarrow -a

Thuộc tính 5: Quy tắc nhân cả hai vế của bất đẳng thức: (left {begin {matrix} a & amp; & gt; & amp; b & amp; & gt; & amp; 0 c & amp; & gt; & amp; d & amp; & gt; & amp; 0 end {matrix} right.rightarrow ac & gt; bd) thuộc tính 6: nghịch đảo cả hai vế: (a & gt; b & gt; 0 leftrightarrow 0 property 7: rule for power of n: (a & gt; b & gt; 0, nin n * rightarrow a ^ {n}> b ^ {n}) thuộc tính 8: quy tắc căn bậc n: (a> b> 0, nin n * rightarrow sqrt {a}> sqrt {b})

Kết quả: Quy tắc vuông trên cả hai mặt

Nếu a và b là các số dương thì: (a> bleftrightarrow a ^ {2}> b ^ {2})

Nếu a và b là hai số không âm thì: (ageq bleftrightarrow a ^ {2} geq b ^ {2})

Xem thêm:

Bất bình đẳng về log

Bất bình đẳng gốc

bất đẳng thức bunhiacopxki

Xem thêm: Nghe thầy Vũ Khắc Ngọc trải lòng về khoá PEN-C 2017

Viết một bình luận