Góc giữa hai đường thẳng trong không gian – O₂ Education

1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là gì?

Hai dòng a, b bất kỳ trong khoảng trắng. Từ điểm o nào đó ta kẻ hai đường thẳng a ‘, b’ lần lượt song song với a và b. Ta thấy rằng khi điểm o thay đổi thì góc giữa hai đường thẳng a và b không thay đổi.

góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Bạn đang xem: Góc giữa hai đường thẳng là góc gì

Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc giữa hai đường thẳng đi qua cùng một điểm và song song với hai đường thẳng cho trước.

Xem thêm:

  • Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bậc 11
  • Cách tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian

2. Cách xác định góc giữa hai đường

Ngoài việc làm như trong định nghĩa, để xác định góc giữa 2 đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.cách xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Hoặc chúng ta có thể sử dụng sản phẩm chấm:

  • Nếu ( overrightarrow {u} ) là vectơ hướng của dòng a, ( overrightarrow {v} ) là vectơ hướng của dòng b, ( left ( overrightarrow {u }; overrightarrow {v} right) = alpha ) thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng ( alpha ) nếu (0 le alpha le 90 ^ circle ) và bằng (180 {} ^ circle – alpha ) if (90 ^ circle & lt; alpha le 180 ^ circle ).
  • Nếu 2 đường thẳng a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng là (0 ^ khoanh ). Góc giữa hai đường thẳng là góc được đo bằng (0 le alpha le 90 ^ circle ).

3. Cách tính góc giữa hai đường

Để tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian, bạn có thể sử dụng hệ thức lượng giác nếu bạn có thể xác định (xây dựng) góc giữa hai đường thẳng trong không gian và gắn chúng vào một tam giác cụ thể. tam giác để tìm số đo của góc:

  • Định lý hàm cosin trong tam giác abc: ( cos widehat {bac} = frac {a {{b} ^ {2}} + a {{c} ^ {2}} -b {{c} ^ {2}}} {2.ab.ac} )
  • Tương tự, chúng ta có: ( cos widehat {abc} = frac {b {{a)} ^ {2}} + b {{c} ^ {2}} – a {{c} ^ {2}}} {2.ba.bc} ) và ( cos widehat {acb} = frac { c {{a} ^ {2}} + c {{b} ^ {2}} – a {{b} ^ {2}}} {2.ca.cb} ) Lưu ý: ( overrightarrow {ab }. overrightarrow {ac} = ab.ac cos widehat {bac} = frac {1} {2} left (a {{b} ^ {2}} + a {{c} ^ {2} } -b {{c} ^ {2}} right) )
XEM THÊM:  thầy thích thiện thuận sinh năm bao nhiêu

Ngoài ra, để tính góc giữa hai vectơ $ vec {u}, vec {v} $, chúng tôi sử dụng định nghĩa của tích chấm: $$ vec {u}. vec {v} = | vec {u} |. | vec {v} |. cos ( left ( overrightarrow {u}; overrightarrow {v} right) $.

Để tính góc giữa hai đường thẳng ab và cd, chúng ta sử dụng công thức ( cos left ( overrightarrow {ab}; overrightarrow {cd} right) = frac { overrightarrow {ab}. overrightarrow {cd}} { left | overrightarrow {ab} right |. left | overrightarrow {cd} right |} rightarrow cos left (ab; cd right) = frac { left | overrightarrow {ab}. overrightarrow {cd} right |} { left | overrightarrow {ab} right |. left | overrightarrow {cd} right |} ) giữa hai đường thẳng ab và góc cd .

4. Thực hành về góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Ví dụ 1. Đối với hình lập phương có cạnh $ a $ a b c d cdot a ^ { prime} b ^ { prime} c ^ { prime} d ^ { prime} $ Dollar . Tính góc giữa hai cặp đường thẳng sau:

  1. $ a b $ và $ a ^ { prime} d ^ { prime} $.
  2. $ a d $ và $ a ^ { prime} c ^ { prime} $ .
  3. $ b c ^ { prime} $ và $ b ^ { prime} d ^ { prime} $.

Giải pháp.

  1. Ta có $ a ^ { prime} d ^ { prime} // a d $ nên $ left (a b, a ^ { prime} d ^ { prime} right) = (a b , a d) = widehat {b a d} = 90 ^ { circle} $.
  2. Chúng ta có $ a ^ { prime} c ^ { prime} // a c $ nên $ left (a d ), a ^ { prime} c ^ { prime} right) = (a d, a c) = widehat {d a c} = 45 ^ { circle} $.
  3. Chúng ta có $ b ^ { prime} d ^ { prime} // b d $ nên $ left (b c ^ { prime}, b ^ { prime} d ^ { prime} right) = left (b c ^ { prime}, b d right) = widehat {d b c ^ { prime}} $. Ta có $ b d = b c ^ { prime} = c ^ { prime} d = a b sqrt {2} $ nên $ tam giác b d c ^ { prime} $ chẵn nên $ widehat {d b c ^ { Số nguyên tố}} = 60 ^ { circle} $. Vì vậy, $ left (b c ^ { prime}, b ^ { prime} d ^ { prime} right) = 60 ^ { circle} $.

Ví dụ 2. Đối với kim tự tháp $ s. a b c $ có $ s a = s b = s c = a b = a c = a sqrt {2} $ và $ b c = 2 a $. Tính góc giữa hai đường thẳng $ a c $ và $ s b $.

Giải pháp.

Xem thêm: Poharan Gọi 2 Con Hổ Khi Nào? Hướng Dẫn Phụ Bản Chiến Hạm Hải Xà Blade And Soul

Chúng ta có $ s a b $ và $ s a c $ là các tam giác đều và $ a b c $ và $ s b c $ là các tam giác cân với cạnh huyền $ b c $. Gọi $ m, n, p $ lần lượt là trung điểm của $ s a, a b, b c $, ta có $ m n / / s b, n p / / a c $ nên $ (a c, s b) = (n p, m n) $.

XEM THÊM:  Distractor Là Gì - Distractor Nghĩa Là Gì

begin {align} & amp; m n = frac {s b} {2} = frac {a sqrt {2}} {2}, n p = frac {a c} {2} = frac {a sqrt {2}} {2}. \ & amp; a p = s p = frac {b c} {2} = a, s a = a sqrt {2} end {align}

Ví dụ 3. Cho hình chóp s.abc của một tam giác đều có đáy là cạnh a, (sa bot left (abc right) ) và (sa = a sqrt {3} ). Gọi m, n lần lượt là trung điểm của ab và sc. Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng an và cm.

Phương pháp 1: Xây dựng đạo hàm hình bình hành (am = ce = frac {a} {2} ).

Sau đó, (ae // cm rightarrow left ( widehat {ae; cm} right) = left ( widehat {an; ae} right) = varphi. )

Nếu không thì (sc = sqrt {s {{a} ^ {2}} + a {{c} ^ {2}}} = 2a rightarrow ) Độ dài của trung vị an là (an = frac {sc} {2} = a.ae = cm = frac {a sqrt {3}} {2}. )

Do ( delta abc ) nên (cm bot am rightarrow ) amce là một hình chữ nhật.

Sau đó (ce bot ae ) but (ce bot sa rightarrow ce bot left (sae right) rightarrow ce bot se. )

( delta sec ) Trung vị tại e là (en = frac {1} {2} sc = a. )

Chúng ta có: ( cos widehat {nae} = frac {a {{n} ^ {2}} + a {{e} ^ {2}} – n {{e} ^ {2} }} {2.an.ae} = frac { sqrt {3}} {4}> 0 rightarrow cos varphi = frac { sqrt {3}} {4}. )

Phương pháp 2: Chúng ta có: ( overrightarrow {an} = frac {1} {2} left ( overrightarrow {as} + overrightarrow {ac} right); overrightarrow {cm} = overrightarrow {am} – overrightarrow {ac} = frac {1} {2} overrightarrow {ab} – overrightarrow {ac}. )

Sau đó, ( overrightarrow {an}. overrightarrow {cm} = frac {1} {2} left ( overrightarrow {as} + overrightarrow {ac} right) left ( frac {1 } {2} overrightarrow {ab} – overrightarrow {ac} right) = frac {1} {4} overrightarrow {ab}. Overrightarrow {ac} – frac {1} {2} a {{ c} ^ {2}} = frac {1} {4} {{a} ^ {2}} cos 60 {} ^ circle – frac {{{a} ^ {2}}} {2} = frac {-3 {{a} ^ {2}}} {8}. )

Một lần nữa: (an = frac {sc} {2} = a; cm = frac {a sqrt {3}} {2} rightarrow cos varphi = frac { left | frac {-3 {{a} ^ {2}}} {8} right |} {a. Frac {a sqrt {3}} {2}} = frac { sqrt {3}} {4} . )

Xem thêm: Trần Thiên Hương: Diễn xuất và kinh doanh hỗ trợ cho nhau! – Đài Truyền hình TP.HCM

XEM THÊM:  Tiểu sử diễn viên hài Thu Trang? Sự nghiệp và chồng Tiến Luật

Nhận xét: Dựa vào hai phương pháp trên, chúng tôi nhận thấy rằng trong một số trường hợp, việc sử dụng công cụ vectơ để tính góc giữa hai đường thẳng làm cho bài toán dễ giải hơn. rất nhiều! .

Ví dụ 4. Đối với s với (sa = sb = sc = ab = a; ac = a sqrt {2} ) và (bc = a sqrt {.abc Pyramid 3} ). Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng sc và ab.

Phương pháp 1: Gọi m, n và p lần lượt là trung điểm của sa, sb và ac. Sau đó ( left { begin {align}

& amp; mp // sc \

& amp; n // ab \

end {align} right. rightarrow left ( widehat {sc; ab} right) = left ( widehat {mp; mn} right). )

Chúng ta có: (mn = frac {ab} {2} = frac {a} {2}; mp = frac {sc} {2} = frac {a} {2}. )

Nếu không, ( delta sac ) bình phương tại s ( rightarrow sp = frac {ac} {2} = frac {a sqrt {2}} {2}. )

(b {{p} ^ {2}} = frac {b {{a} ^ {2}} + b {{c} ^ {2}}} {2} – frac {a { ) {c} ^ {2}}} {4} = frac {3} {2} {{a} ^ {2}} rightarrow bp = frac {a sqrt {6}} {2}. )

Suy ra (p {{n} ^ {2}} = frac {p {{s} ^ {2}} + p {{b} ^ {2}}} {2} – frac {s {{b} ^ {2}}} {4} = frac {3 {{a} ^ {2}}} {4} rightarrow np = frac {a sqrt {3}} {2}. )

Sau đó ( cos widehat {nmp} = frac {m {{n} ^ {2}} + m {{p} ^ {2}} – n {{p} ^ {2}}} {2.mn.mp} = – frac {1} {2} rightarrow widehat {nmp} = 120 {} ^ circle rightarrow varphi = left ( widehat {sc; ab} right) = 60 {} ^ khoanh tròn. )

Phương pháp 2: Chúng ta có: ( overrightarrow {ab} = overrightarrow {sb} – overrightarrow {sa} rightarrow overrightarrow {ab}. overrightarrow {sc} = Trái ( overrightarrow {sb} – overrightarrow {sa} right). Overrightarrow {sc} = overrightarrow {sb}. Overrightarrow {sc} – overrightarrow {sa}. Overrightarrow {sc} )

(= frac {1} {2} left (s {{b} ^ {2}} + s {{c} ^ {2}} – a {{c} ^ {2}} phải) – frac {1} {2} left (s {{a} ^ {2}} + s {{c} ^ {2}} – a {{b} ^ {2}} right) = – frac {{{a} ^ {2}}} {2}. )

Suy ra ( cos left (sc; ab right) = frac { left | frac {- {{a} ^ {2}}} {2} right |} {a.a} = frac {1} {2} rightarrow left (sc; ab right) = 60 {} ^ circle. )

Xem thêm: Học cách làm 5 món ngon từ lươn cho bé ăn dặm

Viết một bình luận